• 23.05.2024 21:16

Євген Ткаченко: “Антьє числа”

Чт, 7 Липня в 23:57

Даний матеріал присвячюється моїй колезі та просто гарній людині, математику Оксані

Ант’є та мантиса числа – теми в шкільному курсі математики не розглядаються. В деяких школах з математичним нахилом можуть датись на факультативних заняттях. Хоча задачі на ці теми були на всеукраїнських математичних олімпіадах. Сьогодні поговоримо про цілу частину числа.

Цілою частиною дійсного числа а (ант’є від а) називають найбільше ціле число, яке не перевищує даного
числа а. Позначається [a]. З означення цілої частини випливає, що [a] ≤ a, причому рівність виконується, якщо а ціле.

Наведемо декілька прикладів:

  1. [4,5]=4;
  2. [5,2]=5;
  3. [7]=7;
  4. [-0,25]=-1;
  5. [-8]=-8;
  6. [-8,1]=-9;
  7. [0]=0.

Розглянемо задачу з всеукраїнської математичної олімпіади 1996 року:

Знайти всі натуральні значення n, при яких вираз [n2/5] буде простим числом.

Пам’ятаємо, що якщо а – просте, то воно має лише два дільника: “1” та саме число а. Приклади простих чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13…

При діленні на 5 будь-яке натуральне n можна записати як

n=5k+p;

де k – частка, яка є натуральним числом, а p – остача. При діленні на 5 остачами можуть бути наступні числа 0(поділилось націло);1;2;3;4.

Зрозуміло, що [n]=k.

Піднесемо до квадрату n2=(5k+p)2=25k2+10kp+p2; (Використали формулу квадрат суми)

Поділимо вираз на 5:

n2/5=5k2+2kp+p2/5;

Розглядаємо випадки:

  1. p=0, тоді n=5k, n2/5=5k2; [n2/5]=5k2. Щоб воно було простим потрібно щоб k=1, а тому n=5. Вітаю перша відповідь є 5.
  2. p=1, n=5k+1; n2/5=5k2+2k+1/5; [n2/5]=[5k2+2k+1/5]= 5k2+2k=k(5k+2). Для того щоб k(5k+2) було простим – потрібно щоб k=1; тоді [n2/5]=1*7=7; n=5k+1=6; n=6. Це теж буде відповіддю.
  3. p=2, n=5k+2; n2/5=5k2+4k+4/5; [n2/5]=[5k2+4k+4/5]= 5k2+4k=k(5k+4) дане значення простим не буде при жодному k, навіть якщо k=1; то [n2/5]=1*9=9 яке не є простим; коли p=2 відповіді немає.
  4. p=3, n=5k+3; n2/5=5k2+6k+9/5; [n2/5]=[5k2+6k+9/5]= 5k2+6k+1=5(k+1)(k+1/5)=(k+1)(5k+1). В останньому кроці скористався розкладом квадратного тричлена на множники. (k+1)(5k+1) теж простим бути не може.
  5. p=4, n=5k+4; n2/5=5k2+8k+16/5; [n2/5]=[5k2+8k+16/5]= 5k2+8k+3=5(k+1)(k+3/5)=(k+1)(5k+3). (k+1)(5k+3) теж простим бути не може.

Останній випадок n<5; тоді k=0; n=5k+p=p; n=p.

Тобто n=0; 1; 2; 3; 4. Підставляємо ці значення [n2/5]:

n=0; [n2/5]=0 – не просте;

n=1; [12/5]=0 – не просте;

n=2; [22/5]=0 – не просте;

n=3; [32/5]=1 – не просте;

n=4; [42/5]=3 – просте. n=4 теж є відповіддю.

Відповідь: {4;5;6}.

Акцентую увагу на тому, що ми пройшлись оглядово, а сама тема цікава та велика.

Для індивідуальних онлайн-занять(та офлайн, Київ) записуйтесь +380681070419 (viber,telegram). Проведіть літо з користю!

титульне фото фотограф Євген Ткаченко

Євген Ткаченко

Отримуйте актуальні новини першими – підписуйтесь на наш  Telegram

Читати по темі:

Євген Ткаченко: Шукаємо висоту дерева

Математика: офлайн чи онлайн?

Записуйтесь на заняття з математики з досвідченим репетитором за низькою ціною

Допоможемо Чернігівцю Олександру нагородити своїх заступників

Допоможемо чернігівцю Олександру

Євген Ткаченко: Про прибирання житла

Євген Ткаченко: Чому рулетку називають “колесом диявола”?

Євген Ткаченко: “Чи можна передбачити смерть?”

Піфагор: “Не бийте собаку. Це душа одного мого друга. Я впізнав її по голосу.“

Євген Ткаченко: Чи реально виграти в лотерею Джекпот?

Євген Ткаченко: Навіщо нам в житті відсотки?

Євген Ткаченко: Обкладаємо плиткою стіну кухні

Отримуйте актуальні новини першими – підписуйтесь на наш  Telegram

Схожі записи

Враження туристки від Відня. Фото
Туристка: Шрі-Ланка. Іноді шлях в 30 км займає пів дня
Турист: “Острів, де всі жителі щиро радіють життю попри повсюдну бідність”

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *