Побудова квадратичної параболи

Сьогодні розглянемо як будується парабола вигляду y= ax² +bx+c, де а не дорівнює 0.

Є декілька способів:

1. За допомогою геометричних перетворень. Ми описували процес для гіперболічної функції(для параболи буде аналогічно).

2. За допомогою дослідження.

Ми сьогодні розберемо другий варіант, оскільки важливо розуміти кожен крок, що ми будемо виконувати. Паралельно з планом (алгоритмом побудови) розглянемо конкретний приклад. Цікаво, що з цієї вправи випливає декілька простеньких, які можуть бути на ЗНО, ДПА та НМТ.

Приклад:

y = 2x ²– 12x +10

Визначаємо коефіцієнти a, b, c.

a=2; b=-12; c=10.

2. Визначаємо напрям віток параболи, зауважимо, якщо а > 0 – вітки напрямлені вгору, a < 0 – вітки дивляться вниз.

Оскільки a =2>0 , то вітки напрямлені вгору.

3. Шукаємо координати вершини параболи:

x_в =-(-12)/(2*2)=12/4=3;

Шукаємо у_в для цього ми знаходимо у(х_в).

Підставляємо значення аргументу х=3 у нашу функцію:

y(3)=2*3² -12*3+10=18-36+10=-8.

Тобто вершина параболи (3; -8).

4. Визначаємо рівняння осі симетрії. Як відомо, вісь симетрії в параболі має вигляд х=х_в.

Тобто у нашому випадку х=3.

5. Шукаємо точки перетину графіка з осями координат

ОУ: х=0, підставляємо в умову і знаходимо у.

y(0)=0-0+10=10.

(0;10). Користуючись віссю симетрії знаходимо ще одну точку (6;10).

ОХ: у=0.

2x ²– 12x +10=0;

поділимо ліву та праву частину на 2:

x ²– 6x +5=0.

Дане рівняння ми можемо вирішити або за допомогою дискримінанту або теоремою Вієта. Пропоную використати теорему Вієта. Маємо, сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто -(-6)=6. А добуток коренів – вільному члену 5. Методом підбору бачимо, що це 1 та 5. (1+5=6; 1*5=5).

Тобто, ще маємо дві точки (1;0), (5;0).

6. Беремо додаткові точки. Як відомо з пункту 4, вісь симетрії х=3. Тому шукаємо

y(2)=2*2 ²– 12*2 +10=8-24+10=-6.

(2;-6). Користуючись симетрією (4;-6) теж належить нашому графіку.

5. будуємо отримані точки в прямокутній системі координат

Даний алгоритм носить орієнтовний характер, тобто пункти можна міняти місцями та брати більше контрольних точок. Тренуйтесь! Вирішуйте! У Вас все вийде!

Євген Ткаченко

Читати по темі:

Перетворення графіків функцій

Євген Ткаченко: Парні та непарні функції

Євген Ткаченко: Що таке функція?

Євген Ткаченко: Область визначення функції

Євген Ткаченко: Декілька слів про множини чисел

Євген Ткаченко: “Прикладні комбінаторні задачі”

Євген Ткаченко: “Круги Ейлера при розв’язку задач”

Євген Ткаченко: “Антьє числа”

Євген Ткаченко: Шукаємо висоту дерева

Математика: офлайн чи онлайн?