Євген Ткаченко: “Антьє числа”

Даний матеріал присвячюється моїй колезі та просто гарній людині, математику Оксані

Ант’є та мантиса числа – теми в шкільному курсі математики не розглядаються. В деяких школах з математичним нахилом можуть датись на факультативних заняттях. Хоча задачі на ці теми були на всеукраїнських математичних олімпіадах. Сьогодні поговоримо про цілу частину числа.

Цілою частиною дійсного числа а (ант’є від а) називають найбільше ціле число, яке не перевищує даного
числа а. Позначається [a]. З означення цілої частини випливає, що [a] ≤ a, причому рівність виконується, якщо а ціле.

Наведемо декілька прикладів:

1. [4,5]=4;
2. [5,2]=5;
3. [7]=7;
4. [-0,25]=-1;
5. [-8]=-8;
6. [-8,1]=-9;
7. [0]=0.
   

Розглянемо задачу з всеукраїнської математичної олімпіади 1996 року:

Знайти всі натуральні значення n, при яких вираз [n²/5] буде простим числом.

Пам’ятаємо, що якщо а – просте, то воно має лише два дільника: “1” та саме число а. Приклади простих чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13…

При діленні на 5 будь-яке натуральне n можна записати як

n=5k+p;

де k – частка, яка є натуральним числом, а p – остача. При діленні на 5 остачами можуть бути наступні числа 0(поділилось націло);1;2;3;4.

Зрозуміло, що [n]=k.

Піднесемо до квадрату n²=(5k+p)²=25k²+10kp+p²; (Використали формулу квадрат суми)

Поділимо вираз на 5:

n²/5=5k²+2kp+p²/5;

Розглядаємо випадки:

1. p=0, тоді n=5k, n²/5=5k²; [n²/5]=5k². Щоб воно було простим потрібно щоб k=1, а тому n=5. Вітаю перша відповідь є 5.
2. p=1, n=5k+1; n²/5=5k²+2k+1/5; [n²/5]=[5k²+2k+1/5]= 5k²+2k=k(5k+2). Для того щоб k(5k+2) було простим – потрібно щоб k=1; тоді [n²/5]=1*7=7; n=5k+1=6; n=6. Це теж буде відповіддю.
3. p=2, n=5k+2; n²/5=5k²+4k+4/5; [n²/5]=[5k²+4k+4/5]= 5k²+4k=k(5k+4) дане значення простим не буде при жодному k, навіть якщо k=1; то [n²/5]=1*9=9 яке не є простим; коли p=2 відповіді немає.
4. p=3, n=5k+3; n²/5=5k²+6k+9/5; [n²/5]=[5k²+6k+9/5]= 5k²+6k+1=5(k+1)(k+1/5)=(k+1)(5k+1). В останньому кроці скористався розкладом квадратного тричлена на множники. (k+1)(5k+1) теж простим бути не може.
5. p=4, n=5k+4; n²/5=5k²+8k+16/5; [n²/5]=[5k²+8k+16/5]= 5k²+8k+3=5(k+1)(k+3/5)=(k+1)(5k+3). (k+1)(5k+3) теж простим бути не може.

Останній випадок n<5; тоді k=0; n=5k+p=p; n=p.

Тобто n=0; 1; 2; 3; 4. Підставляємо ці значення [n²/5]:

n=0; [n²/5]=0 – не просте;

n=1; [1²/5]=0 – не просте;

n=2; [2²/5]=0 – не просте;

n=3; [3²/5]=1 – не просте;

n=4; [4²/5]=3 – просте. n=4 теж є відповіддю.

Відповідь: {4;5;6}.

Акцентую увагу на тому, що ми пройшлись оглядово, а сама тема цікава та велика.

Для індивідуальних онлайн-занять(та офлайн, Київ) записуйтесь +380681070419 (viber,telegram). Проведіть літо з користю!

титульне фото фотограф Євген Ткаченко

Євген Ткаченко

Отримуйте актуальні новини першими – підписуйтесь на наш  Telegram

Читати по темі:

Євген Ткаченко: Шукаємо висоту дерева

Математика: офлайн чи онлайн?

Записуйтесь на заняття з математики з досвідченим репетитором за низькою ціною

Допоможемо Чернігівцю Олександру нагородити своїх заступників

Допоможемо чернігівцю Олександру

Євген Ткаченко: Про прибирання житла

Євген Ткаченко: Чому рулетку називають “колесом диявола”?

Євген Ткаченко: “Чи можна передбачити смерть?”

Піфагор: “Не бийте собаку. Це душа одного мого друга. Я впізнав її по голосу.“

Євген Ткаченко: Чи реально виграти в лотерею Джекпот?

Євген Ткаченко: Навіщо нам в житті відсотки?

Євген Ткаченко: Обкладаємо плиткою стіну кухні

Отримуйте актуальні новини першими – підписуйтесь на наш  Telegram