Євген Ткаченко: “Прикладні комбінаторні задачі”

В цій статті розглянемо прикладні задачі на описану вище тематику. Зауважу, що подібного роду завдання кожного року є на ЗНО, ДПА та іноді трапляються на різноманітних конкурсних іспитах, в тому числі і за кордоном. Прикро, що багато шкіл на розділ “Комбінаторика та теорія ймовірності” відводить дуже мало часу або взагалі не вивчає. З відеоуроками можна ознайомитись, натиснувши на посилання. В даних уроках дається сжато теорія та розглядаються закріплюючи вправи. Цікаво, що більшість учнів намагається розв’язувати задачі, не вивчавши теорії і отримають здебільшого вірні відповіді.

Тому розглянемо деякі вправи.
1. Випускник Ніжинського ліцею обрав у м. Ніжині для вступу два університети – Ніжинський державний університет (НДУ) та Ніжинський агротехнічний інститут (НАІ). Абітурієнту подобається три факультети в НДУ та два – в НАІ. Скільки можливостей має студент для вступу до університету?

Діє правило додавання 3+2=5.

Відповідь: 5.

2. Родина з чотирьох осіб планує літній відпочинок. Діти обрали чотири міста –Одесу, Євпаторію, Ялту, Феодосію. Батьки визначилися з базами відпочинку так: в Одесі – 1, у Євпаторії – 3, в Ялті – 2, у Феодосії – 2. Скільки можливостей вибору літнього відпочинку має родина?

Аналогічно з попереднім завданням 1+3+2+2=8.

Відповідь: 8.

3. Від пункту А до пункту Б ведуть три стежки, а від В до С – дві. Скількома маршрутами можна пройти від А до С?

Діє правило множення 3*2=6.

Відповідь: 6.

4. Скількома способами можна сформувати потяг з 8 вагонів.

Тобто нам потрібно порахувати кількість перестановок з 8 елементів. А це, як відомо, 8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40 320 способів.

Відповідь: 40320.

5. Скількома способами можна вибрати 4 книги з 10?

Ми обираємо 4 книги. Для нас порядок вибору не важливий, тому це комбінації.

С_⁴10 =10!/(4!*(10-4)!)=10!/(4!*6!)=7*8*9*10/(4*3*2)=7*3*10=210.

Відповідь: 210.

6. Скількома способами можна п’ять солдат вишикувати в колону по одному?

Ми 5 солдат міняємо місцями. Тобто нам потрібно порахувати кількість перестановок з 5 елементів.

5!=5*4*3*2*1=120.

Відповідь: 120.

7. З 12 учнів потрібно вибрати трьох чергових. Скількома способами можна зробити такий вибір?

Задача аналогічна до 5. При виборі 3-ьох чергових порядок не важливий.

С_³12 =12!/(3!*(12-3)!)=12!/(3!*9!)=10*11*12/(3*2*1)=220.

Відповідь: 220.

8. З 38 депутатів Ніжинської міської ради потрібно обрати секретаря та одного замісника міського голови. Скількома способами це можна зробити.

В цій задачі порядок має значення, оскільки кожна двійка депутатів може бути і секретарем і замісником і, що важливо, навпаки. Тому тут розміщення.

А_²38 =38!/(38-2)!)=38!/(36!)=37*38=1406 способів.

Відповідь: 1406.

Щоб розв’язувати такі задачі потрібно добре розуміти теорію та багато вирішувати. В даному матеріалі розглянуті прості елементарні задачі, подібні до яких можуть бути на ЗНО. В подальшому розглянемо більш складніші вправи на цю тематику.

Євген Ткаченко

Записатись на заняття можна просто написавши у viber або telegram +380681070419.

Отримуйте актуальні новини першими – підписуйтесь на наш Telegram

Читати по темі:

Євген Ткаченко: “Круги Ейлера при розв’язку задач”

Євген Ткаченко: “Антьє числа”

Євген Ткаченко: Шукаємо висоту дерева

Математика: офлайн чи онлайн?

Записуйтесь на заняття з математики з досвідченим репетитором за низькою ціною

Допоможемо Чернігівцю Олександру нагородити своїх заступників

Допоможемо чернігівцю Олександру

Євген Ткаченко: Про прибирання житла