Перетворення графіків функцій

В рамках 9 класів ми вивчили як будуються прості функції, складаючи таблицю і позначаючи точки на координатній площині. Сьогодні розглянемо методи побудови складніших графіків за допомогою геометричних перетворень. Оскільки для своїх студентів я на лекції пояснював перетворення з різними функціями, крім f(x)=k/x, що пов’язане з відсутністю клітинок, а як наслідок порушення точності на дошці. Забігаючи наперед скажу, що скоро ми навчимося будувати майже всі функції, коли вивчимо похідну. А поки поїхали…

y=f(x+a)

Почнемо з y=f(x+a). Для цього спочатку будуємо f(x), а потім f(x+a), шляхом перенесення точок на а одиниць праворуч по осі ОХ, якщо а <0 та на а ліворуч, коли а>0.

Наведемо приклад 1 y=1/(x-1):

Будуємо спочатку y=1/x, а потім наш шуканий.

Для функції f(x) = 1/x будуємо таблицю

x	-1	-2	-4	-5	1	2	4	5
y	-1	-0,5	-0,25	-0,2	1	0,5	0,25	0,2

Ви можете взяти свої точки. Тобто беремо будь-який х і шукаємо відповідний y=1/x.

І потім кожну точку зміщуємо на одну одиницю праворуч

Червоним зображено f(x)=1/x, а синім f(x)=1/(x-1).

Відповідь:

y=f(x)+а

Розберемо y=f(x)+а. Для цього спочатку будуємо f(x), а потім f(x)+а, шляхом перенесення точок на а одиниць вниз, якщо а <0 та на а вгору, коли а>0.

Приклад 2 y=1/x +2:

Будуємо спочатку y=1/x, а потім наш шуканий, зміщуючи початковий на 2 одиниці вгору по осі ОУ.

Зеленим зображено f(x)=1/x, а синім f(x)=1/x +2.

Відповідь:

y=-f(x)

Для побудови даної функції ми креслимо y=f(x), а потім симетрично відображаємо її відносно осі ОХ.

Приклад 3.

Зеленим y=1/x, синім y= 1/(x-1) та чорним наш шуканий.

Для кращої ілюстрації побудуємо ці графіки без y=1/x

Відповідь:

y=f(-x)

Для побудови даної функції ми креслимо y=f(x), а потім симетрично відображаємо її відносно осі ОУ.

Приклад 4. Побудуємо f(x)=1/(-x-1)

Структура побудови:

Синім y=1/x, чорним y= 1/(x-1) та червоним наш шуканий графік.

Для кращої ілюстрації побудуємо ці графіки без y=1/x

Відповідь:

y=|f(x)|

За означенням модуля ми спочатку будуємо ту частину графіка y=f(x), де значення функції невід’ємні. А частина графіка y=f(x), де у від’ємний симетрично відображаємо відносно осі ОХ.

Об’єднання цих двох частин і складатиме наш шуканий графік.

Приклад 5. f(x)=|1/x +2|

Структура побудови:

Без y=1/x

Зеленим побудований шуканий графік.

Відповідь:

y=f(|x|)

Для отримання шуканого графіка ми маємо зробити наступні дії. Будуємо частину графіка y=f(x) з невід’ємними аргументами. А там де х від’ємні (зліва відносно осі ОУ) будуємо y=f(-x). Об’єднання цих двох частин і буде y=f(|x|)

Приклад 6. f(x)=1/(|x| -1)

Структура побудови:

Без y=1/x

Відповідь:

y=f(c*x)

Графік функції y=f(c•x) можна одержати із графіка функції y=f(x) за допомогою розтягу від осі Oy в c разів, якщо 0<c<1, і за допомогою стиснення до осі Oy в c разів, якщо c>1.

Приклад 7. y=1/(2*x)

Стискаємо до осі ОУ вдвічі

Cхема побудови:

Червоним шукана побудова.

Відповідь:

y=k*f(x)

Графік функції y=k*f(x) (k>1) можна отримати із графіка y=f(x) розтягом від осі ОХ в k разів. При такому перетворенні кожна точка (x; y) графіка y=f(x) переходить в точку (x; ky) y=kf(x):

(x; y) → (x; ky)

(тобто аргумент кожної точки (x) початкового графіка залишається без змін, а ордината (y) збільшується в k разів).

Приклад 8. y=2/x.